Ecuaciones Lineales
Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales.
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa
que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la
primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera
potencia.
En dos incógnitas
En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de las
ecuaciones lineales de dos variables es:
;
Donde representa la pendiente y el
valor de determina el punto donde la recta corta al eje Y (la ordenada al
origen).
Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
Formas de ecuaciones
lineales
Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las
reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas
representan constantes, mientras x e y son variables.
Ecuación general
Aquí A
y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible
encontrar los valores donde x e y se anulan.
- Ecuación segmentaria o simétrica
Aquí ni E
ni F no pueden ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al
eje Y en E y F respectivamente.
- Forma paramétrica
Dos
ecuaciones que deben cumplirse de manera simultánea, cada una en la variable t.
Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e
igualando.
- Casos especiales:
Un caso
especial es la forma estándar donde y. El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X ó
(si F = 0) coincidente con ese eje.
Otro caso
especial de la forma general donde y. El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.
En este
caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es
verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del
ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que
lo satisface todo par de números reales x e y.
Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1
= 0 entonces la original es llamada inconsistente, o sea que no se
cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: .
Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones
simultaneas.
Ecuación lineal en el
espacio n-dimensional
Las funciones lineales de varias variables admiten también
interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la
forma
Representa un plano y una función
Representa una hipersuperficie plana de n-1 dimensiones en un volumen
n-dimensional.
Sistemas de ecuaciones
lineales
Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un
tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como
incógnitas y el determinante de la
matriz ha de ser real y no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones
de líneas en un único punto (sistema lineal de dos ecuaciones con dos
incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o
un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los
que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.
